Modulation: BPSK, QPSK và QAM

BÀI NÀY NỐI TỪ ĐÂU?

Bài 05 cho ta complex number $I+jQ$ . Bài 07 dùng complex numbers làm DFT coefficients $X[k]$ . Bài 08 dùng chúng theo nghĩa khác: mapper chọn một symbol $d[m]$ từ một finite constellation.

BIT MAPPING, NOT A TRANSFORM

input bits→bit group→mapper→

d[m]

→waveform generation later

Dùng $d[m]$ giúp tránh một nhầm lẫn quan trọng: modulation symbol không phải DFT coefficient $X[k]$ chỉ vì cả hai đều là complex numbers.

01 · SYMBOL LÀ MỘT LỰA CHỌN TRONG MỘT TẬP HỮU HẠN

Mapper biến một bit label thành một complex point hợp lệ trong constellation set.

BIT STREAM10110100…bits tại input của mapper

→ group →

BIT LABEL10ví dụ 2 bits

→ map →

MODULATION SYMBOL $d[m]=I+jQ$ một point trong constellation set

Nếu constellation có $M$ points và $M$ là power of two, mỗi symbol label chứa $\log_2 M$ bits.

BPSK $M=2$

1 bit / symbol

QPSK $M=4$

2 bits / symbol

16QAM $M=16$

4 bits / symbol

64QAM $M=64$

6 bits / symbol

02 · BPSK

Hai bit values được map tới hai phase cách nhau 180°.

Một mapping minh họa có thể dùng 0 → -1 và 1 → +1 trên trục $I$ . $Q=0$ . Khi average symbol energy được normalize về 1, khoảng cách giữa hai points là $2$ .

b\in\{0,1\}\;\longrightarrow\;d\in\{-1,+1\}

03 · QPSK

Bốn điểm cho phép mỗi symbol mang 2 bits mà vẫn giữ các điểm tách nhau khá xa.

QPSK dùng cả $I$ và $Q$ . Với normalization thường gặp, các tọa độ là $\pm 1/\sqrt{2}$ trên mỗi trục, nên magnitude của bốn points bằng nhau và phase khác nhau.

Một symbol QPSK mang 2 bits. Với unit average symbol energy, nearest-neighbor distance là $\sqrt2$ .

04 · QAM

Khi tăng số điểm, ta bắt đầu thay cả amplitude lẫn phase để mang nhiều bits hơn mỗi symbol.

QPSK4 points

2 bits/symbol

→

16QAM16 points

4 bits/symbol

→

64QAM64 points

6 bits/symbol

→

256QAM256 points

8 bits/symbol

Nếu average symbol energy được giữ cố định, nhiều points hơn làm nearest-neighbor distance nhỏ hơn. Received sample vì vậy có ít geometric margin hơn trước khi crossing sang decision region khác.

NORMALIZED BPSK $d_{\min}=2$

NORMALIZED QPSK $d_{\min}=\sqrt2$

NORMALIZED 16QAM $d_{\min}=2/\sqrt{10}$

05 · INTERACTIVE LAB

Mode Mapping cho thấy bit label → complex symbol. Mode Noisy decision cho thấy received sample crossing decision boundaries.

Demo dùng normalized constellations và một Gray labeling minh họa. Kéo error vector để thấy geometry quyết định detected point, còn labeling quyết định detected bits.

BITS / SYMBOL $2$

\log_2 M

SELECTED LABEL00illustrative Gray labeling

IDEAL SYMBOL $d=0.707+j0.707$

d[m]

MINIMUM DISTANCE $1.414$

d_{\min}

CONSTELLATIONQPSK · normalized average symbol energy

Geometry và bit labeling là hai lớp khác nhau. Constellation points quyết định Euclidean distances; labels quyết định một symbol error sẽ biến thành bao nhiêu bit errors.

06 · TẠI SAO CONSTELLATION THƯỜNG ĐƯỢC NORMALIZE?

Nếu chỉ tăng tọa độ points mà không scale lại, ta vô tình thay cả average symbol energy.

RAW 16QAM LEVELS $I,Q\in\{\pm1,\pm3\}$

E_s=\mathbb E[|d|^2]=10

$\div\sqrt{10}$ →

NORMALIZED $\mathbb E[|d|^2]=1$ dễ so sánh giữa modulation orders

Normalization convention phải được biết khi tính EVM, SNR hoặc so sánh constellation. Nếu transmitter dùng Q15 fixed-point, implementation còn có thêm scale factor riêng để map normalized symbol vào integer range.

07 · RECEIVER NHÌN THẤY MỘT COMPLEX SAMPLE, KHÔNG NHÌN THẤY BIT LABEL

Hard detector chọn constellation point gần observation nhất.

\hat d=\arg\min_{a\in\mathcal S}|y-a|^2

TRANSMITTED $d$ ideal constellation point

→ channel + noise →

OBSERVATION $y$ received/equalized complex sample

→ nearest point →

HARD DECISION $\hat d$ detected constellation point

Với equally likely symbols và circular AWGN sau ideal equalization, nearest Euclidean point là maximum-likelihood hard decision. Practical coded receivers thường tạo soft bit metrics hoặc LLRs thay vì chỉ hard-decide một symbol rồi chuyển thẳng thành bits.

08 · GRAY LABELING GIẢM BIT DAMAGE CỦA NEAREST-NEIGHBOR ERRORS

Cùng constellation geometry nhưng cách gắn labels có thể làm bit-error behavior khác nhau.

LABEL A00

↔ nearest neighbors ↔

LABEL B01

chỉ một bit khác nhau

Gray labeling thường làm nearest-neighbor labels khác nhau một bit. Vì many symbol errors ở moderate/high SNR đi sang point lân cận, mapping này thường giảm số bit errors trên mỗi nearby symbol error.

09 · SYMBOL RATE, MAPPER BIT RATE VÀ PAYLOAD THROUGHPUT KHÔNG PHẢI MỘT

$\log_2M$ chỉ nói mapper đóng bao nhiêu input bits vào mỗi symbol.

R_{b,\mathrm{mapper}}=R_s\log_2M

Đây là bit rate tại mapper interface, không phải end-user throughput.

SYMBOL RATE $R_s$ symbols per second

BITS / SYMBOL $\log_2M$ label width

MAPPER BIT RATE $R_s\log_2M$ before system overhead interpretation

Payload throughput còn phụ thuộc coding rate, reference signals, control, resource allocation, retransmissions, guard intervals và waveform-specific overhead.

10 · SAU MAPPER, SYMBOL CHƯA PHẢI RF WAVEFORM

Cùng sequence $d[m]$ có thể đi vào các waveform-generation chains khác nhau.

MAPPER OUTPUT $d[m]$ complex symbol sequence

↙︎ ↘︎

SINGLE-CARRIER EXAMPLEpulse shapingsymbols điều khiển một continuous baseband waveform

MULTICARRIER EXAMPLEOFDM latersymbols có thể được gán lên frequency-time resources trước IFFT

Bài 8 dừng ở mapper/demapper. Bài 9 chuyển sang câu hỏi vật lý hơn: complex baseband samples đi qua DAC, frequency translation, power amplifier và antenna như thế nào.

11 · NỐI LẠI CÁC Ý

Mapper: map bit labels vào một finite constellation set $\mathcal S$ .
Modulation symbol: dùng $d[m]$ để tránh nhầm với DFT coefficient $X[k]$ .
BPSK / QPSK: PSK dùng phase choices; QPSK mang 2 bits/symbol.
QAM: dùng nhiều amplitude/phase combinations để tăng constellation size.
Normalization: cho phép so geometry ở cùng average symbol energy reference.
Minimum distance: spacing nhỏ hơn làm decision nhạy hơn với received error vector.
Gray labeling: geometry không đổi nhưng nearby symbol errors thường gây ít bit errors hơn.
Receiver: hard nearest-point decision là geometry operation; coded systems thường dùng soft metrics.
Mapper bit rate: $R_s\log_2M$ không đồng nghĩa với end-user throughput.