Correlation trực quan trong receiver

CORRELATION NẰM Ở ĐÂU TRONG RECEIVER?

Bài 12 cho thấy multipath làm received buffer chứa delayed copies. Bây giờ giả sử transmitter cố ý gửi một sequence mà receiver đã biết trước. Receiver có thể dùng sequence đó như một template để tìm arrival timing, nhận dạng hypothesis hoặc quan sát channel.

KNOWN REFERENCE → SEARCH METRIC → DECISION

received buffer+known reference→slide + conjugate multiply + sum→metric vs lag→peak + threshold

Bài này xây nền tảng chung. Các bài synchronization sau sẽ áp dụng cùng tư duy với sequence, search space và impairments cụ thể hơn.

01 · CORRELATION BẮT ĐẦU TỪ INNER PRODUCT

Nếu hai vectors có cùng pattern, các contribution sau khi nhân có xu hướng cộng cùng hướng thay vì triệt tiêu nhau.

Với ví dụ real-valued đơn giản:

s=[1,-1,1,1]

Nếu received segment đúng bằng reference:

r=[1,-1,1,1]

thì element-wise products là:

r\odot s=[1,1,1,1]

và dot product:

C=\sum_n r[n]s[n]=4

ALIGNED PATTERNproducts mostly reinforce

+1,+1,+1,+1

vs

MISMATCHED PATTERNpositive and negative terms cancelsum magnitude tends to be smaller

02 · RAW CORRELATION TRỘN “GIỐNG NHAU” VỚI “MẠNH HƠN”

Normalization giúp metric ít phụ thuộc vào amplitude của received segment.

Với một real-valued segment, normalized correlation magnitude có thể viết:

\gamma=\frac{\left|\sum_n r[n]s[n]\right|}{\sqrt{\left(\sum_n|r[n]|^2\right)\left(\sum_n|s[n]|^2\right)}}

0\le\gamma\le1

SAME SHAPE · SMALL AMPLITUDEraw correlation smallernormalized alignment can still be near 1

↔

SAME SHAPE · LARGE AMPLITUDEraw correlation largernormalization removes common scale

03 · KHÔNG BIẾT TIMING THÌ TRƯỢT TEMPLATE QUA BUFFER

Mỗi candidate lag $\ell$ tạo một inner product khác nhau.

C[\ell]=\sum_{n=0}^{L-1}r[n+\ell]s^*[n]

Với complex samples, conjugate $s^*[n]$ là phần tự nhiên của complex inner product. Nếu phase của reference đã biết đúng, contributions ở correct lag cộng coherent.

WRONG LAGdifferent samples are comparedproducts rotate/cancel

→ slide →

NEAR ALIGNMENTmore samples match the templatemetric rises

→

CORRECT REGIONcoherent accumulationpeak becomes a timing candidate

Nếu sequence thật bắt đầu ở $n_0$ , ideal detector kỳ vọng peak quanh $\ell=n_0$ . Nhưng noise, multipath, CFO và competing sequences có thể làm peak shape hoặc peak location phức tạp hơn.

04 · COMPLEX CORRELATION CÒN MANG THÔNG TIN VỀ CHANNEL GAIN

Ở đúng timing, correlation không chỉ nói “có match”; complex phase của output còn phản ánh common complex gain.

Giả sử trong observation window:

r[n+n_0]=h\,s[n]+w[n]

Tại đúng lag:

C[n_0]=h\sum_n|s[n]|^2+\sum_n w[n+n_0]s^*[n]

Nếu noise term nhỏ và reference energy là $E_s=\sum_n|s[n]|^2$ , thì:

C[n_0]\approx hE_s

CORRELATION MAGNITUDE $|C[n_0]|$ match strength × channel magnitude × reference energy

+

CORRELATION PHASE $\angle C[n_0]$ contains common phase rotation under the simple model

05 · TRONG MULTIPATH, CORRELATION PEAK LÀ CHANNEL ĐƯỢC “BLUR” BỞI AUTOCORRELATION

Đây là cầu nối trực tiếp từ Bài 12 sang sequence detection.

Giả sử reference truyền qua discrete multipath channel:

r[n]=\sum_m h[m]s[n-m]+w[n]

Thay vào sliding correlation:

C[\ell]=\sum_m h[m]R_{ss}[\ell-m]+\eta[\ell]

với:

R_{ss}[k]=\sum_n s[n+k]s^*[n]

CHANNEL TAPS $h[m]$ true delayed paths

convolved with

REFERENCE AUTOCORRELATION $R_{ss}[k]$ main lobe + sidelobes

→

CORRELATION OUTPUT $C[\ell]$ path structure blurred by sequence response + noise

06 · AUTOCORRELATION VÀ CROSS-CORRELATION QUYẾT ĐỊNH SEQUENCE “DỄ TÌM” TỚI MỨC NÀO

AUTOCORRELATION

$s[n]$ với shifted copy của chính nó

Ta muốn main peak mạnh và off-peak sidelobes nhỏ trong search region quan trọng. Điều đó giảm ambiguity theo timing.

CROSS-CORRELATION

$s_1[n]$ với $s_2[n]$

Nếu receiver phải phân biệt nhiều candidate sequences, ta muốn wrong-sequence responses đủ nhỏ so với correct hypothesis.

Không có một sequence family “tốt nhất cho mọi mục tiêu”. Length, cyclic shifts, implementation cost, spectral constraints và robustness với channel/CFO đều có thể ảnh hưởng thiết kế.

07 · ARGMAX KHÔNG PHẢI DETECTOR HOÀN CHỈNH

Nếu không có sequence trong buffer, correlation curve vẫn luôn có một maximum.

SEARCH $\hat\ell=\arg\max_\ell\gamma[\ell]$ propose the strongest candidate

then

THRESHOLD TEST $\gamma[\hat\ell]\mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}\gamma_{\rm th}$ decide signal absent or present

DETECTIONsignal present + threshold crossed

Candidate also needs acceptable timing/identity consistency.

MISSsignal present + metric too low

Can happen when noise, fading, CFO or threshold is too severe.

FALSE ALARMsignal absent + noise peak crosses threshold

Lower threshold usually increases sensitivity and false-alarm risk together.

08 · MATCHED FILTER VÀ CORRELATOR LÀ HAI CÁCH NHÌN CÙNG OPERATION

Time-reverse + conjugate reference rồi convolution tạo chính sliding correlation, chỉ khác indexing.

Với reference dài $L$ :

g[n]=s^*[L-1-n]

z[n]=(r*g)[n]

thì:

z[\ell+L-1]=C[\ell]

REFERENCE $s[n]$ known template

→ conjugate + reverse →

FILTER $g[n]=s^*[L-1-n]$ matched impulse response

→ convolve →

OUTPUTcorrelation vs lagpeak when template aligns

09 · CFO LÀM COHERENT CONTRIBUTIONS XOAY DẦN

Timing có thể đúng nhưng correlation gain vẫn giảm nếu phase drift đáng kể xuyên suốt reference.

Giả sử constant-modulus reference và đúng timing:

r[n+n_0]=h\,s[n]e^{j2\pi\Delta f nT_s}

Khi correlate với $s^*[n]$ :

C[n_0]=h\sum_{n=0}^{L-1}e^{j2\pi\Delta f nT_s}

Đặt normalized CFO:

\epsilon=\Delta fT_s

normalized coherent gain là:

G(\epsilon)=\frac1L\left|\frac{\sin(\pi L\epsilon)}{\sin(\pi\epsilon)}\right|

Với $\epsilon\to0$ , gain tiến tới 1. Khi phase drift tăng, per-sample vectors fan out và tổng vector ngắn lại. Đây là lý do acquisition thường phải giới hạn hoặc search residual frequency error cùng với timing.

10 · INTERACTIVE LAB

Ba mode để nhìn correlation từ phép nhân từng sample tới detector threshold và CFO loss.

Sliding match cho phép tự kéo candidate lag và nhìn reference, received segment, từng product rồi mới ra normalized metric. Threshold detector có cả signal-present và signal-absent cases để thấy vì sao argmax chưa đủ. CFO coherence vẽ từng contribution phasor và coherent-gain curve.

True sequence start $n_0=24$ Noise standard deviation $0.45$ Candidate lag $\ell=18$

TRUE START $n_0=24$ hidden location

CANDIDATE LAG $\ell=18$ misaligned

NORMALIZED METRIC $0.393$

0\le\gamma[\ell]\le1

GLOBAL MAXIMUM $\ell=24$

0.957

WHAT ONE CANDIDATE LAG ACTUALLY DOESreference × received window → sum

index0123456789101112

reference+1+1+1−1+1−1−1+1−1+1+1−1+1

received-0.37-0.24-0.250.900.37-0.141.560.711.52-1.191.10-0.35-1.33

product-0.37-0.24-0.25-0.900.370.14-1.560.71-1.52-1.191.100.35-1.33

signed dot product $-4.69$ → normalize →

\gamma[\ell]

$0.393$

NORMALIZED SLIDING CORRELATIONone value per candidate lag

candidate lagtrue lagglobal max

11 · IMPLEMENTATION: SEARCH SPACE QUYẾT ĐỊNH COMPUTE COST

Correlation không chỉ tốn theo sequence length; receiver còn phải nhân với số timing, frequency và identity hypotheses.

TIMING HYPOTHESES $N_\tau$ candidate sample offsets

×

FREQUENCY HYPOTHESES $N_f$ when CFO uncertainty is significant

×

SEQUENCE HYPOTHESES $N_s$ candidate identities/templates

→

TOTAL SEARCHmany correlation evaluationsarchitecture matters

Direct sliding evaluation of a length- $L$ sequence over many lags costs roughly one inner product per lag. For long buffers/templates, correlation can also be implemented through convolution and FFT-based methods. SIMD, vectorization, hierarchical search and reuse across hypotheses can matter more than the textbook formula suggests.

12 · CORRELATION LÀ TOOL; SEQUENCE CỤ THỂ SẼ ĐẾN SAU

Bài 13 xây detector mechanics mà không gắn nó vào một standard-specific signal.

Synchronization

Tìm timing candidate từ known sync structure.

Identity search

So competing templates để nhận dạng sequence hypothesis.

Channel sounding

Known reference response tiết lộ delay/complex channel structure.

Random access

Preamble search dùng cùng template-matching principle với search assumptions riêng.

Những bài synchronization và reference-signal sau sẽ thêm standard-specific sequence construction, resource mapping, CFO range, timing uncertainty và detection procedure.

13 · NỐI LẠI CÁC Ý

Inner product: correlation cộng per-sample alignment contributions.
Normalization: giảm phụ thuộc vào common amplitude scaling và cho một bounded alignment metric.
Sliding correlation: một metric được tính cho mỗi candidate lag $\ell$ .
Complex correlation: dùng conjugate reference $s^*[n]$ .
Correct-lag output: trong simple flat model, $C[n_0]\approx hE_s$ .
Multipath: correlation output là channel taps shaped bởi sequence autocorrelation.
Sequence design: autocorrelation sidelobes và cross-correlation ảnh hưởng ambiguity/discrimination.
Detector: argmax proposes a candidate; threshold controls absent/present decision and false-alarm/miss trade-off.
Matched filter: convolution với conjugate time-reversed template là sliding correlation theo cách nhìn filtering.
CFO: phase drift làm coherent contributions fan out và giảm correlation gain.
Implementation: total cost phụ thuộc cả timing, frequency và sequence search dimensions.