Multipath và delay spread trực quan

TỪ MỘT PATH TỚI MỘT CHANNEL CÓ MEMORY

Với một dominant path, ta dùng $y(t)=h\,x(t-\tau)$ . Với multipath, mỗi geometry path tạo một delayed complex copy riêng rồi tất cả cộng tại receiver.

SAME TRANSMITTED WAVEFORM · MULTIPLE ARRIVALS

TX waveform→path 0+path 1+path 2…→channel with memory

Bài 12 đi từ geometry → taps → convolution → delay spread → $H(f)$ → ISI. Cyclic Prefix và OFDM solution được để lại cho các bài waveform sau.

01 · NHIỀU PATH ĐẾN TỪ GEOMETRY

Direct propagation, reflection, diffraction và scattering tạo những đường đi có length và interaction khác nhau.

TX

RX

building

scatterer

directreflectionscattering / diffraction

PATH LENGTH $d_\ell$ sets propagation delay

→

INTERACTIONSreflection / diffraction / scatteringchange amplitude and phase

→

BASEBAND TAP $\alpha_\ell,\tau_\ell$ one delayed complex copy

Trong equivalent-complex-baseband model, coefficient $\alpha_\ell$ có thể absorb propagation carrier phase và phase shifts do interactions với môi trường. Delay $\tau_\ell$ giữ vị trí arrival của copy trên baseband time axis.

02 · IMPULSE RESPONSE LÀ DANH SÁCH CÁC DELAYED COMPLEX COPIES

Mỗi path trở thành một tap có complex gain và delay riêng.

h(\tau)=\sum_{\ell=0}^{L-1}\alpha_\ell\,\delta(\tau-\tau_\ell)

|\alpha_\ell|

Tap magnitude

Amplitude scaling của path. Path-power weight tương ứng tỉ lệ với $|\alpha_\ell|^2$ .

\angle\alpha_\ell

Tap phase

Complex rotation của path trong equivalent-baseband representation.

\tau_\ell

Tap delay

Arrival time relative to the chosen channel-timing reference.

Continuous delay không phải lúc nào cũng nằm đúng sample grid. Nếu $\tau_\ell=m_\ell T_s$ thì sampled model có tap đúng ở integer index $m_\ell$ . Fractional-sample delay cần interpolation/fractional-delay representation hoặc một finer internal sampling model.

03 · MULTIPATH BIẾN CHANNEL THÀNH MỘT FILTER

Output tại thời điểm hiện tại phụ thuộc cả waveform hiện tại lẫn những input values trong quá khứ.

y(t)=\int h(\tau)x(t-\tau)\,d\tau

y(t)=\sum_{\ell=0}^{L-1}\alpha_\ell x(t-\tau_\ell)

PATH 0 $\alpha_0x(t-\tau_0)$ earliest copy

+

PATH 1 $\alpha_1x(t-\tau_1)$ later complex copy

+

MORE PATHS…more memory

→

RECEIVER $y(t)$ complex superposition

“Channel has memory” nghĩa là cùng một output sample có thể chứa contribution từ nhiều earlier input samples. Đây là bước khái niệm quan trọng trước khi nói tới ISI, equalization hay cyclic prefix.

04 · TWO-TAP CHANNEL CHO THẤY RÕ NHẤT DELAY ↔ FREQUENCY SELECTIVITY

Chỉ cần một direct path và một echo là đủ tạo peaks và notches theo frequency.

Xét channel:

h(\tau)=\delta(\tau)+a e^{j\phi}\delta(\tau-\tau_e)

Fourier transform theo delay cho:

H(f)=1+a e^{j(\phi-2\pi f\tau_e)}

Do đó:

|H(f)|^2=1+a^2+2a\cos(\phi-2\pi f\tau_e)

DELAY DOMAIN $\tau_e$ echo is shifted in time

→

RELATIVE PHASE $\phi-2\pi f\tau_e$ changes linearly with frequency

→

FREQUENCY RESPONSEpeaks + notchesconstructive/destructive addition depends on

f

Khi frequency tăng thêm $\Delta f$ sao cho relative phase đổi đúng $2\pi$ , response lặp lại:

\Delta f_{\rm ripple}=\frac{1}{\tau_e}

05 · VÍ DỤ SỐ: MỘT ECHO CÓ THỂ TẠO DEEP FADE

Một channel không cần “mất signal” về power tổng thể để có một frequency gần như bị triệt tiêu.

Chọn $a=0.8$ , $\tau_e=2\,\mu\mathrm{s}$ và $\phi=0$ . Ripple period là:

\Delta f_{\rm ripple}=\frac{1}{2\,\mu\mathrm{s}}=0.5\,\mathrm{MHz}

Tại baseband frequency zero:

|H(0)|=|1+0.8|=1.8

Tại $f=0.25\,\mathrm{MHz}$ , delay term tạo $2\pi f\tau_e=\pi$ , nên echo gần đối phase với direct path:

|H(0.25\,\mathrm{MHz})|=|1-0.8|=0.2

CONSTRUCTIVE POINT $1.8$ direct and echo reinforce

DESTRUCTIVE POINT $0.2$ direct and echo nearly cancel

Cùng một channel geometry có thể vì vậy rất tốt ở một sub-band nhưng rất xấu ở sub-band khác. Đây chính là physical intuition phía sau frequency-selective fading.

06 · POWER DELAY PROFILE BỎ PHASE ĐỂ NHÌN ENERGY THEO DELAY

PDP hữu ích cho delay statistics, nhưng nó không còn giữ đủ information để reconstruct complex $H(f)$ .

POWER DELAY PROFILE $P(\tau)$

P_\ell=|\alpha_\ell|^2

07 · MEAN EXCESS DELAY VÀ RMS DELAY SPREAD LÀ POWER-WEIGHTED STATISTICS

RMS delay spread đo energy trải rộng quanh delay centroid, không phải “delay của path cuối cùng”.

\bar\tau=\frac{\sum_\ell P_\ell\tau_\ell}{\sum_\ell P_\ell}

\sigma_\tau=\sqrt{\frac{\sum_\ell P_\ell(\tau_\ell-\bar\tau)^2}{\sum_\ell P_\ell}}

MEAN EXCESS DELAY

$\bar\tau$

Power centroid của arrivals trên delay axis.

RMS DELAY SPREAD

$\sigma_\tau$

Power-weighted standard deviation quanh centroid.

MAX EXCESS DELAY

latest significant − earliest

Phụ thuộc threshold dùng để quyết định path nào còn “significant”.

Ví dụ hai paths tại $0\,\mu\mathrm{s}$ và $2\,\mu\mathrm{s}$ , có powers 1 và 0.25:

\bar\tau=0.4\,\mu\mathrm{s},\qquad\sigma_\tau=0.8\,\mu\mathrm{s}

08 · INTERACTIVE LAB

Nhìn cùng một two-tap channel ở delay domain, frequency domain và symbol timeline.

Thay $|\alpha_1|$ , excess delay và echo phase. Sau đó chuyển giữa ba view để thấy cùng parameters tạo delayed copy, spectral ripple/notch và channel memory như thế nào.

Echo magnitude $|\alpha_1|=0.65$ Excess delay $4.0\,\mu\mathrm{s}$ Echo phase $135^\circ$

MEAN EXCESS DELAY $1.19\,\mu\mathrm{s}$ power weighted

RMS DELAY SPREAD $1.83\,\mu\mathrm{s}$

\sigma_\tau

RESPONSE RIPPLE PERIOD $0.250\,\mathrm{MHz}$

\Delta f_{\rm ripple}=1/\tau_e

DELAY / SYMBOL $0.50$

\tau_e/T_s

TWO-TAP CHANNEL $h(\tau)=\delta(\tau)+\alpha_1\delta(\tau-\tau_e)$

Direct tap:

1

Echo tap:

|\alpha_1|=0.65

at

135^\circ

COMPLEX-ENVELOPE MAGNITUDEdirect copy + delayed echo

direct magnitudeecho magnitudemagnitude after complex addition

Echo phase không đổi riêng magnitude của echo, nhưng nó đổi magnitude của vector sum ở vùng hai copies overlap.

09 · CHANNEL MEMORY CÓ THỂ TẠO INTER-SYMBOL INTERFERENCE

Energy do một symbol tạo ra có thể vẫn còn trong observation interval của symbol sau.

SHORT EFFECTIVE MEMORYdelayed tail dies early

Receiver dễ tách contributions của successive symbols hơn.

memory grows →

SIGNIFICANT OVERLAPprevious-symbol energy enters current decision

Nếu không có suitable pulse design, equalization hoặc guard strategy, ISI xuất hiện.

Không nên dùng rule quá đơn giản “delay lớn hơn symbol duration thì mới có ISI”. Actual ISI phụ thuộc effective transmit pulse, physical channel, receive filtering, sampling instant và equalizer. Điều đúng về mặt hệ thống là: effective channel memory càng dài so với signaling time scale, việc tách symbols càng khó.

10 · COHERENCE BANDWIDTH LÀ MỘT CÁCH TÓM TẮT FREQUENCY CORRELATION

Delay spread lớn thường đi cùng một frequency response thay đổi nhanh hơn theo frequency.

DELAY DOMAINenergy spread over larger delayslarger temporal dispersion

↔ Fourier ↔

FREQUENCY DOMAIN $H(f)$ varies over smaller frequency scalesstronger frequency selectivity over a wideband signal

Coherence bandwidth thường được định nghĩa từ correlation của channel response giữa hai frequencies. Vì phải chọn một correlation threshold, không có một universal exact identity kiểu $B_c=1/\sigma_\tau$ cho mọi definition.

SIGNAL BANDWIDTH $B_{ m sig}$

compared with

CHANNEL COHERENCE SCALE $B_c$

→

INTERPRETATION $B_{\rm sig}\ll B_c$ → approximately flatwide signal relative to

B_c

sees stronger frequency selectivity

11 · TRONG CODE, CHANNEL CÓ MEMORY TRỞ THÀNH FIR-LIKE COMPLEX FILTER

Integer-grid tap model dẫn trực tiếp tới discrete convolution.

y[n]=\sum_{m=0}^{M-1}h[m]x[n-m]

INPUT BUFFER $x[n]$ complex baseband samples

→

CHANNEL TAPS $h[m]$ complex coefficients + memory

→ convolution →

OUTPUT BUFFER $y[n]$ overlapping delayed contributions

Simulation phải đặc biệt cẩn thận với units: path delays có thể được cho bằng seconds nhưng convolution index dùng samples. Mapping đơn giản là $m\approx\tau/T_s$ , nhưng rounding delay về integer samples có thể làm mất fractional-delay behavior.

12 · BÀI 12 GIẢI THÍCH PROBLEM; CÁC BÀI SAU GIẢI THÍCH CÁCH RECEIVER/WAVEFORM XỬ LÝ NÓ

Multipath không biến mất. Ta thay cách biểu diễn và thiết kế waveform để làm nó dễ xử lý hơn.

BÀI 13Correlation

Cách receiver tìm known patterns và timing trong noisy/distorted observations.

BÀI 14–15OFDM + FFT/IFFT

Tách wideband frequency-selective problem thành nhiều narrow frequency bins/subcarriers.

BÀI 16Cyclic Prefix

Tạo guard structure để delayed channel convolution tương thích với circular-convolution model dưới điều kiện phù hợp.

13 · NỐI LẠI CÁC Ý

Multipath: nhiều delayed complex copies của cùng transmitted waveform.
Tap: mỗi component được mô tả bằng $\alpha_\ell$ và $\tau_\ell$ .
Impulse response: $h(\tau)=\sum_\ell\alpha_\ell\delta(\tau-\tau_\ell)$ .
Convolution: channel memory làm output phụ thuộc nhiều past input values.
Frequency response: $H(f)=\sum_\ell\alpha_\ell e^{-j2\pi f\tau_\ell}$ .
Two-tap intuition: excess delay tạo frequency ripple scale khoảng $1/\tau_e$ .
PDP: giữ path power theo delay nhưng bỏ complex tap phase.
RMS delay spread: power-weighted spread quanh mean excess delay, không phải maximum channel delay.
ISI: effective channel memory làm neighboring symbols overlap nếu waveform/receiver không xử lý phù hợp.
Frequency selectivity: chính là delayed multipath nhìn trong frequency domain.
Discrete implementation: sampled taps dẫn tới FIR-like complex convolution; fractional delays cần xử lý cẩn thận.