I/Q và complex baseband trực quan

BÀI NÀY NỐI TỪ ĐÂU?

Bài 04 dừng ở $z=a+jb=Ae^{j\phi}$ . Trong complex baseband, ta đổi tên hai coordinates thành $I$ và $Q$ rồi cho chúng thay đổi theo time hoặc sample index.

FROM MATH TO TRANSCEIVER

a+jb

→ $I+jQ$ →complex baseband→quadrature mixer→real RF waveform

Complex baseband là một lowpass-equivalent representation centered around zero frequency. Nó không có nghĩa rằng anten phát một điện áp “phức”.

01 · $I$ VÀ $Q$ LÀ HAI COORDINATES

Cùng một complex value có thể đọc theo Cartesian hoặc theo magnitude và phase.

CARTESIAN

x=I+jQ

$I$ là real coordinate, $Q$ là imaginary coordinate.

POLAR

x=Ae^{j\phi}

Cùng point được đọc bằng magnitude $A$ và phase $\phi$ .

CARTESIAN → POLAR

A=\sqrt{I^2+Q^2}

Magnitude là khoảng cách từ origin tới point trên complex plane.

\phi=\operatorname{atan2}(Q,I)

POLAR → CARTESIAN

I=A\cos\phi

Hai projections vuông góc reconstruct cùng magnitude và phase.

Q=A\sin\phi

02 · COMPLEX BASEBAND THỰC SỰ LÀ GÌ?

Không chỉ một point cố định: $I$ và $Q$ có thể thay đổi theo thời gian.

x_{\mathrm{bb}}(t)=I(t)+jQ(t)=A(t)e^{j\phi(t)}

Một complex-baseband waveform là một trajectory trên complex plane. Ở mỗi thời điểm, $I(t)$ và $Q(t)$ cho một point; magnitude $A(t)$ và phase $\phi(t)$ có thể cùng thay đổi.

COMPLEX PLANE

ONE POINT AT EACH TIME $x_{\mathrm{bb}}(t_0)=I(t_0)+jQ(t_0)$

Khi time chạy, point di chuyển. “Complex baseband” vì vậy là cả một signal trajectory, không chỉ một constellation point.

03 · TỪ COMPLEX BASEBAND TỚI REAL RF

Hai coordinates điều khiển hai carrier vuông pha, rồi hai nhánh được cộng lại thành một waveform thực.

s_{\mathrm{RF}}(t)=\operatorname{Re}\!\left\{x_{\mathrm{bb}}(t)e^{j2\pi f_ct}\right\}

s_{\mathrm{RF}}(t)=I(t)\cos(2\pi f_ct)-Q(t)\sin(2\pi f_ct)

I

BRANCH $I(t)$

\times\cos(2\pi f_ct)

+

Q

BRANCH $Q(t)$

\times[-\sin(2\pi f_ct)]

→

REAL PASSBAND $s_{\mathrm{RF}}(t)$ một physical waveform đi tới RF chain

I=1,\;Q=0

$s(t)=\cos(\omega_ct)$

Chỉ cosine basis còn lại.

I=0,\;Q=1

$s(t)=-\sin(\omega_ct)$

Chỉ quadrature basis còn lại.

I=Q=1/\sqrt2

$s(t)=\cos(\omega_ct+45^\circ)$

Hai basis kết hợp thành cùng amplitude nhưng phase shifted.

04 · INTERACTIVE LAB

Di chuyển complex point rồi nhìn từng nhánh mixer và waveform RF tổng.

Preset giúp isolate các case $I$ -only, $Q$ -only và phase ±45°. Plot RF hiển thị riêng $I\cos(\omega_ct)$ , $-Q\sin(\omega_ct)$ và tổng của hai nhánh.

Magnitude $A=1.00$ Phase $\phi=45^\circ$

I

$0.707$

A\cos\phi

Q

$0.707$

A\sin\phi

COMPLEX VALUE $x=0.707+j0.707$

I+jQ

MAGNITUDE / PHASE $1.00\angle45^\circ$

Ae^{j\phi}

COMPLEX BASEBAND POINT $x=I+jQ$

QUADRATURE RF SYNTHESIShai branch waveforms → một real waveform

s_{\mathrm{RF}}(t)=I\cos(\omega_ct)-Q\sin(\omega_ct)

I\cos(\omega_ct)

-Q\sin(\omega_ct)

s_{\mathrm{RF}}(t)

Với $I=A\cos\phi$ và $Q=A\sin\phi$ , tổng hai nhánh bằng $A\cos(\omega_ct+\phi)$ .

Thay phase làm complex point quay trên $I/Q$ plane. Cùng lúc, tỷ lệ giữa cosine branch và sine branch thay đổi để tạo đúng phase của waveform RF tổng.

05 · RECEIVER LÀM CHIỀU NGƯỢC LẠI

Quadrature demodulation nhân RF với hai local oscillators vuông pha rồi low-pass để recover $I$ và $Q$ .

Trong ideal model, bắt đầu từ $s_{\mathrm{RF}}(t)=I(t)\cos(\omega_ct)-Q(t)\sin(\omega_ct)$ . Nhân với hai oscillator có factor 2:

RF INPUT $s_{\mathrm{RF}}(t)$ real passband waveform

↙︎ ↘︎

IN-PHASE MIXER $2s_{\mathrm{RF}}(t)\cos(\omega_ct)$ baseband term + components around

2f_c

↓ low-pass $I(t)$

QUADRATURE MIXER $-2s_{\mathrm{RF}}(t)\sin(\omega_ct)$ baseband term + components around

2f_c

↓ low-pass $Q(t)$

Sau low-pass filtering, các high-frequency mixer products bị loại và hai baseband components được giữ lại. Factor 2 ở đây chỉ chọn normalization để ideal output đúng bằng $I(t)$ và $Q(t)$ .

06 · TRONG CODE, $I/Q$ THƯỜNG LÀ MỘT CHUỖI COMPLEX SAMPLES

DSP nhìn thấy các cặp số theo sample index, không nhất thiết một “waveform đẹp” như trên oscilloscope.

$n$	$I[n]$	$Q[n]$	$x[n]=I[n]+jQ[n]$	$\|x[n]\|$
$0$	$0.71$	$0.71$	$0.71+j0.71$	$1.00$
$1$	$0.38$	$0.92$	$0.38+j0.92$	$1.00$
$2$	$-0.20$	$0.98$	$-0.20+j0.98$	$1.00$
$3$	$-0.82$	$0.57$	$-0.82+j0.57$	$1.00$

INTERLEAVED MEMORYinterleaved scalar values

or

SEPARATE BUFFERSone buffer for in-phase valuesone buffer for quadrature values

or

COMPLEX TYPEcomplex<float> buffer

Implementation có thể dùng floating-point, signed integer hoặc fixed-point. Storage format thay đổi nhưng mathematical object vẫn là sequence $x[n]=I[n]+jQ[n]$ .

07 · VÌ SAO COMPLEX BASEBAND SẼ HỮU ÍCH Ở BÀI SAU?

Chiều quay trên complex plane giữ được dấu của frequency offset.

POSITIVE ROTATION $e^{+j2\pi ft}$

Angle tăng theo time.

NEGATIVE ROTATION $e^{-j2\pi ft}$

Angle giảm theo time.

Với real-valued signal, positive và negative frequency components xuất hiện theo conjugate-symmetric pairs. Complex signal không bị bắt buộc bởi symmetry đó. Đây là một lý do complex baseband rất tự nhiên khi ta dịch một RF band về quanh $0\,\mathrm{Hz}$ .

08 · NỐI LẠI CÁC Ý

$x=I+jQ$ : một complex value có hai coordinates trực giao.
Complex baseband: $x_{\mathrm{bb}}(t)=I(t)+jQ(t)$ là một lowpass-equivalent signal centered around zero frequency.
RF synthesis: $s_{\mathrm{RF}}(t)=I(t)\cos(\omega_ct)-Q(t)\sin(\omega_ct)$ .
Receiver: quadrature mixers + low-pass filtering recover $I(t)$ và $Q(t)$ trong ideal model.
Trong code: DSP thường xử lý sequence $x[n]=I[n]+jQ[n]$ bằng complex numeric types hoặc hai buffers.
Complex sample ≠ modulation symbol: ý nghĩa của complex value phụ thuộc stage của signal chain.
Frequency sign: complex representation giữ được chiều quay dương/âm trên complex plane.