GHI CHÉP 04 · SIGNAL FOUNDATIONS

Số phức và phasor

Bài 03 cho ta magnitude và phase trên một sinusoid. Bài này đặt hai ý đó lên một mặt phẳng và trả lời câu hỏi quan trọng: số phức, complex exponential và phasor giống nhau ở đâu, khác nhau ở đâu?

BÀI NÀY NỐI TỪ ĐÂU?

Ở Bài 03, một sinusoid real có dạng $A\cos(\omega t+\phi)$ . Ta đã biết $A$ là magnitude, còn $\phi$ là phase relative to a reference. Số phức cho phép mang hai đại lượng này trong một object hình học duy nhất.

MENTAL MAP

magnitude + phase→complex number→Euler→complex exponential→phasor

Bài này dừng ở representation toán học và hình học. $I/Q$ trong transmitter/receiver sẽ là nội dung chính của Bài 05.

01 · TỪ MỘT TRỤC TỚI MỘT MẶT PHẲNG

Một số thực cần một tọa độ. Một số phức cần hai tọa độ.

Một số thực chỉ nằm trên một trục. Với số phức, ta thêm một trục vuông góc và viết $z=a+jb$ . Trong kỹ thuật điện, ký hiệu $j$ thường được dùng thay cho $i$ để tránh nhầm với dòng điện.

REAL NUMBER

-2-1012

Một coordinate trên một trục.

COMPLEX NUMBER

Cùng một point có thể đọc bằng hai coordinates hoặc bằng magnitude + angle.

z=a+jb,\qquad j^2=-1

02 · CARTESIAN ↔ POLAR

Cùng một point có thể được mô tả bằng tọa độ $a,b$ hoặc bằng magnitude và phase.

CARTESIAN $z=a+jb$

Tiện khi cần nhìn trực tiếp real và imaginary components.

\operatorname{Re}\{z\}=a

\operatorname{Im}\{z\}=b

convert↔

POLAR $z=A\angle\phi$

Tiện khi cần nhìn magnitude và phase.

A=|z|=\sqrt{a^2+b^2}

\phi=\arg(z)=\operatorname{atan2}(b,a)

a=A\cos\phi

b=A\sin\phi

03 · EULER NỐI HÌNH HỌC VỚI SINUSOID

Một point trên unit circle có real coordinate là cosine và imaginary coordinate là sine.

e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta

Ae^{j\theta}=A\cos\theta+jA\sin\theta

Đây là lý do polar form và exponential form khớp với nhau: $z=A\angle\phi=Ae^{j\phi}$ . Exponential form không tạo ra một object mới; nó chỉ là một cách viết khác của cùng complex point.

04 · KHI ANGLE PHỤ THUỘC THỜI GIAN

Thay $\theta$ bằng $\omega t+\phi$ , complex point trở thành một vector quay.

z(t)=Ae^{j(\omega t+\phi)}

COMPLEX EXPONENTIAL $Ae^{j(\omega t+\phi)}$ magnitude cố định, angle tăng theo time

→ real projection →

REAL SINUSOID $A\cos(\omega t+\phi)$ projection của rotating vector lên real axis

A\cos(\omega t+\phi)=\operatorname{Re}\!\left\{Ae^{j(\omega t+\phi)}\right\}

05 · INTERACTIVE LAB

Tách static complex number khỏi rotating complex exponential trước khi nói tới phasor.

Static mode cho thấy một point cố định ở Cartesian và polar form. Rotating mode giữ magnitude và initial phase, rồi thêm một angle $\omega t$ để point quay theo time.

Magnitude $A=0.85$ Initial phase $\phi=30^\circ$ Rotation $\omega t=90^\circ$

STATIC POINT $z=0.85e^{j30^\circ}$ magnitude + phase xác định một point cố định

REAL PART $0.736$

A\cos\theta

IMAGINARY PART $0.425$

A\sin\theta

MAGNITUDE $0.85$

|z|=\sqrt{a^2+b^2}

PRINCIPAL ANGLE $30^\circ$

\arg(z)

COMPLEX PLANEmột point cố định

Static mode không có time dependence. Đây chỉ là một complex number $z=Ae^{j\phi}$ .

06 · PHASOR KHÔNG PHẢI VECTOR QUAY THEO THỜI GIAN

Vector quay là trực giác. Phasor là complex amplitude cố định sau khi tách common time factor.

TIME-DEPENDENT COMPLEX SIGNAL $Ae^{j(\omega t+\phi)}$

PHASOR $\widetilde X=Ae^{j\phi}$ fixed complex amplitude

COMMON ROTATION $e^{j\omega t}$

Khi nhiều steady-state sinusoids có cùng angular frequency $\omega$ , factor $e^{j\omega t}$ là chung. Ta có thể làm đại số với các complex amplitudes $Ae^{j\phi}$ rồi gắn common time dependence trở lại khi cần.

07 · COMPLEX MULTIPLICATION = SCALE + ROTATE

Đây là một trong những lý do số phức mạnh trong signal processing.

INPUT $2e^{j30^\circ}$ magnitude 2, phase 30°

COMPLEX GAIN $0.5e^{-j20^\circ}$ scale 0.5, rotate −20°

OUTPUT $1e^{j10^\circ}$ magnitudes multiply, phases add

A_1e^{j\phi_1}\,A_2e^{j\phi_2}=A_1A_2e^{j(\phi_1+\phi_2)}

Sau này một channel coefficient, equalizer coefficient hoặc frequency response thường được đọc chính xác theo mental model này: một complex multiplication có thể đồng thời đổi gain và phase.

08 · ĐẾN ĐÂY TA ĐÃ CÓ TOÁN, NHƯNG CHƯA CÓ $I/Q$

Bài 4 chỉ xây representation. Bài 5 mới gắn hai coordinates này vào transmitter và receiver.

ĐÃ CÓ $z=a+jb=Ae^{j\phi}$

Cartesian, polar, Euler, rotating complex exponential và phasor.

CHƯA GÁN TÊNreal / imaginary coordinates

Ta chưa cần gọi chúng là in-phase và quadrature branches.

BÀI 05 $I+jQ$

Hai coordinates trở thành một representation thực tế của complex baseband sample.

09 · NỐI LẠI CÁC Ý

Cartesian: $z=a+jb$ mô tả một point bằng real và imaginary coordinates.
Polar: cùng point có thể viết bằng magnitude $A=|z|$ và phase $\phi=\arg(z)$ .
Euler: $e^{j\theta}=\cos\theta+j\sin\theta$ nối geometry với sinusoid.
Complex exponential: $Ae^{j(\omega t+\phi)}$ là time-dependent rotating vector.
Projection: real sinusoid là $\operatorname{Re}\{Ae^{j(\omega t+\phi)}\}$ .
Phasor: $Ae^{j\phi}$ là fixed complex amplitude khi common factor $e^{j\omega t}$ được tách ra.
Complex multiplication: magnitudes nhân nhau, phases cộng nhau.