Amplitude, frequency và phase của sinusoid

BÀI NÀY NỐI TỪ ĐÂU?

Bài 02 hỏi “sampling nhanh tới mức nào là đủ?”. Bài 03 quay lại waveform trước sampling và học cách đọc một sinusoid bằng ba tham số cơ bản.

ONE SINUSOID

x(t)

→Amplitude $A$ ·Frequency $f$ ·Phase $\phi$

Bài này chỉ tập trung vào một sinusoid real. Số phức và phasor sẽ xuất hiện ở Bài 04, sau khi ý nghĩa của amplitude và phase trên waveform đã thật rõ.

01 · BA THAY ĐỔI, BA Ý NGHĨA KHÁC NHAU

Giữ hai tham số cố định và chỉ đổi một tham số. Waveform sẽ thay đổi theo đúng một “chiều” trực giác.

AMPLITUDEĐộ lớn theo trục dọc

Đổi $A$ làm peak cao/thấp hơn nhưng không làm chu kỳ ngắn đi hay dịch mốc phase.

FREQUENCYSố chu kỳ mỗi giây

Đổi $f$ làm các peak gần hoặc xa nhau theo thời gian, tức thay đổi period $T$ .

PHASEVị trí tương đối trong chu kỳ

Đổi $\phi$ giữ nguyên shape và period nhưng thay vị trí waveform so với mốc thời gian.

02 · MỘT CÔNG THỨC GÓI CẢ BA THAM SỐ

Waveform trực giác ở trên được mô tả bằng một biểu thức duy nhất.

x(t)=A\cos(2\pi f t+\phi)

$A$

Amplitude

Peak magnitude tính từ mức zero/reference. Đơn vị phụ thuộc đại lượng đang biểu diễn, ví dụ volt.

$f$

Frequency

Số chu kỳ mỗi giây. Đơn vị là hertz, với $1\,\mathrm{Hz}=1\,\text{cycle/s}$ .

$\phi$

Phase

Vị trí của sinusoid so với reference time. Trong công thức toán học, phase angle được hiểu theo radian trừ khi degree được ghi rõ.

DEGREE $90^\circ$

↔

RADIAN $\pi/2$

\phi_{\mathrm{rad}}=\phi_{\mathrm{deg}}\pi/180

Ta cũng thường viết $x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$ , trong đó $\omega=2\pi f$ là angular frequency với đơn vị $\mathrm{rad/s}$ . Frequency $f$ và angular frequency $\omega$ mô tả cùng tốc độ dao động bằng hai đơn vị khác nhau.

03 · AMPLITUDE

Amplitude đo độ lớn theo trục dọc. Nó không phải frequency và cũng không phải power.

Với $x(t)=A\cos(2\pi f t+\phi)$ và $A\ge 0$ , waveform chạy từ $-A$ tới $+A$ . Vì vậy peak-to-peak value là $2A$ .

04 · FREQUENCY, PERIOD VÀ ANGULAR FREQUENCY

Ba notation khác nhau, nhưng đều đang mô tả waveform lặp nhanh tới mức nào.

PERIOD $T$

Thời gian cho một chu kỳ.

↔

FREQUENCY $f=1/T$

Số chu kỳ trong một giây.

↔

ANGULAR FREQUENCY $\omega=2\pi f$

Số radian phase tiến trong một giây.

Hai peak cùng phase liên tiếp cách nhau đúng một period $T$ .

Ví dụ, $f=2\,\mathrm{Hz}$ tương ứng $T=0.5\,\mathrm{s}$ và $\omega=4\pi\,\mathrm{rad/s}$ . Frequency càng cao thì period càng ngắn.

05 · PHASE LUÔN CẦN MỘT REFERENCE

Phase không nói waveform “nhanh” hay “lớn”. Nó nói waveform đang ở đâu trong chu kỳ so với mốc đã chọn.

Nếu $A$ và $f$ giữ nguyên, đổi $\phi$ không thay amplitude hoặc period. Nó chỉ thay vị trí waveform so với reference time, chẳng hạn $t=0$ .

\phi=0^\circ

$x(0)=A$

Cosine reference bắt đầu tại positive peak.

\phi=+90^\circ

$x(0)=0$

Tại mốc zero, waveform đang đi qua zero với slope âm. Nó tương đương shift sang trái $T/4$ .

\phi=180^\circ

$x(0)=-A$

Cosine nằm tại negative peak, tức lệch nửa chu kỳ so với reference.

Với cùng frequency, phase shift và time shift liên hệ với nhau:

A\cos(2\pi f t+\phi)=A\cos\!\left[2\pi f(t-\tau)\right]

\tau=-\frac{\phi}{2\pi f}\qquad\text{hoặc}\qquad\frac{\tau}{T}=-\frac{\phi_{\mathrm{deg}}}{360^\circ}

Dấu âm rất quan trọng: positive phase trong convention $\cos(2\pi f t+\phi)$ tương ứng waveform shift sang trái theo time axis.

06 · INTERACTIVE LAB

Isolate từng tham số trước, sau đó chuyển sang Free mode để thay cả ba.

Các focus mode khóa hai tham số còn lại để mental model không bị trộn. Plot đồng thời đánh dấu amplitude, period và equivalent time shift để thấy công thức gắn trực tiếp với geometry của waveform.

Amplitude $A=1.3$ Tần số $f=2.0\,\mathrm{Hz}$ Phase $\phi=0^\circ$

CURRENT SINUSOID $x(t)=1.3\cos(2\pi\cdot2.0t+0.00)$ phase term trong biểu thức này đang được đổi sang radian

PERIOD $T=0.500\,\mathrm{s}$

T=1/f

ANGULAR FREQUENCY $\omega=12.57\,\mathrm{rad/s}$

\omega=2\pi f

PHASE IN RADIAN $\phi=0.000\,\mathrm{rad}$

\phi_{\rm rad}=\phi_{\rm deg}\pi/180

EQUIVALENT TIME SHIFT $+0.000\,\mathrm{s}$

\tau=-\phi/(2\pi f)

current

x(t)

same

A,f

with

\phi=0^\circ

Vertical:

A

controls peak magnitude.Horizontal repetition: adjacent equal-phase peaks are separated by

T

.Relative shift: phase becomes an equivalent time shift

\tau

when

f

is fixed.

Chỉ slider Amplitude đang active. Frequency và phase được khóa để bạn chỉ nhìn vertical scaling.

At

t=0

: $x(0)=1.30$ Peak-to-peak: $2A=2.6$ Phase fraction: $0.000\,\text{cycle}$

07 · NHỮNG GÌ BÀI NÀY CHƯA LÀM

Một sinusoid real mới chỉ là bước đầu. Ta chưa cần constellation, modulation hay complex baseband ở đây.

ĐÃ CÓ $A,\;f,\;\phi$

Đọc một sinusoid real trên time axis bằng độ lớn, tốc độ lặp và phase relative to a reference.

CHƯA CẦNComplex plane

Ta chưa cần dùng vector quay để biểu diễn amplitude và phase.

BÀI TIẾP THEOSố phức và phasor

Bài 04 sẽ biến hai ý “magnitude + angle” thành một representation hình học gọn hơn.

08 · VÌ SAO PHASOR LÀ BƯỚC TIẾP THEO TỰ NHIÊN?

Trong sinusoid, phase angle tăng tuyến tính theo thời gian. Ta có thể tưởng tượng một angle đang quay.

AMPLITUDE $A$ magnitude không đổi

+

ANGLE $\theta(t)=2\pi f t+\phi$ angle tăng đều theo time

→

BÀI 04rotating-vector viewphasor sẽ formalize mental model này

Bài này dừng ở đây để không “học trước” số phức. Điều cần mang sang Bài 04 chỉ là: một sinusoid có magnitude $A$ và một phase angle $2\pi f t+\phi$ đang tiến theo thời gian.

09 · NỐI LẠI CÁC Ý

Amplitude $A$ : peak magnitude của sinusoid; peak-to-peak là $2A$ .
Frequency $f$ : số chu kỳ mỗi giây; $T=1/f$ là thời gian của một chu kỳ.
Angular frequency $\omega=2\pi f$ : cùng tốc độ dao động, đo bằng radian trên giây.
Phase $\phi$ : vị trí trong chu kỳ chỉ có ý nghĩa so với một reference.
Phase ↔ time shift: với cùng frequency, $\tau=-\phi/(2\pi f)$ .
Sinusoid model: $x(t)=A\cos(2\pi f t+\phi)$ .