Sampling, aliasing và Nyquist

01 · LẤY MẪU THEO THỜI GIAN

Sampling không biến amplitude thành các mức rời rạc. Nó chọn những thời điểm để đo waveform.

Giả sử một điện áp analog $x(t)$ tồn tại liên tục theo thời gian. ADC đo giá trị của nó tại các thời điểm$0,\,T_s,\,2T_s,\,3T_s,\ldots$ Khi đó:

$n = 0,1,2,\ldots$ và $T_s$ là khoảng thời gian giữa hai lần lấy mẫu.

Sampling rate là số lần đo trong một giây: $f_s = 1/T_s$. Nếu $f_s=48\,\mathrm{kHz}$, khoảng cách giữa hai sample là khoảng $20.83\,\mu\mathrm{s}$.

02 · KHI LẤY MẪU QUÁ CHẬM

Một dãy sample không tự nói cho ta biết waveform đã chạy qua giữa các sample như thế nào.

Nếu các sample nằm đủ gần nhau so với tốc độ biến thiên của signal, ta còn có cơ hội dựng lại waveform. Nhưng khi khoảng cách giữa các sample quá lớn, một waveform nhanh có thể đi qua đúng những điểm mà một waveform chậm hơn cũng đi qua.

Với một cosine $7\,\mathrm{Hz}$ được lấy mẫu ở $10\,\mathrm{Hz}$:

$7\,\mathrm{Hz}$ nằm phía trên $f_s/2 = 5\,\mathrm{Hz}$ và bị “fold” về $3\,\mathrm{Hz}$.

Sau sampling, các giá trị $x[n]$ của tone $7\,\mathrm{Hz}$ trùng với một tone $3\,\mathrm{Hz}$ tại đúng các sample time. Receiver chỉ nhìn dãy sample thì không thể biết chắc waveform analog trước ADC là $7\,\mathrm{Hz}$ hay $3\,\mathrm{Hz}$. Hiện tượng một thành phần tần số cao xuất hiện như một tần số thấp khác được gọi là aliasing.

04 · NYQUIST

Với một signal band-limited, sampling phải đủ nhanh để các bản sao spectrum không chồng lên nhau.

Giả sử signal không có thành phần tần số nào cao hơn B Hz. Trong mô hình lý tưởng, định lý Nyquist-Shannon cho ta điều kiện thường viết là:

Sampling rate phải lớn hơn hai lần tần số cao nhất cần giữ lại trong ideal band-limited model.

Một cách nhìn ở miền tần số là: sampling tạo ra các bản sao của spectrum cách nhau $f_s$. Nếu $f_s$ đủ lớn, các bản sao đứng tách nhau. Nếu $f_s$ quá nhỏ, chúng chồng lên nhau và phần bị chồng chính là aliasing.

Khoảng cách từ tâm copy kế bên tới mép support chính dẫn trực tiếp tới điều kiện Nyquist trong low-pass model này.

05 · HAI CỤM TỪ DỄ NHẦM

Nyquist rate và Nyquist frequency không phải cùng một đại lượng.

Ví dụ một ADC đang chạy ở $20\,\mathrm{MHz}$ có Nyquist frequency là $10\,\mathrm{MHz}$. Còn nếu signal cần giữ có bandwidth từ DC tới $4\,\mathrm{MHz}$, Nyquist rate lý tưởng của signal đó là $8\,\mathrm{MHz}$. Hai câu đang nhìn cùng bài toán từ hai phía khác nhau.

06 · NGOÀI ĐỜI THỰC

ADC không thể trông chờ mọi thứ phía trên $f_s/2$ tự biến mất.

Signal analog thực tế có thể chứa noise, blocker hoặc các thành phần ngoài bandwidth ta quan tâm. Nếu chúng đi thẳng vào ADC, những thành phần phía trên Nyquist frequency có thể alias vào dải cần giữ.

Anti-alias filter là filter analog đặt trước sampling để làm suy giảm các thành phần không muốn giữ. Vì transition band của filter thực không thể dựng đứng tại một tần số duy nhất, hệ thống thường chọn $f_s$cao hơn giới hạn lý thuyết để có khoảng chuyển tiếp dễ thiết kế hơn. Đây là một lý do oversampling rất hữu ích.

07 · NỐI LẠI VỚI WIRELESS

Sampling rate quyết định cách receiver số nhìn thấy bandwidth mà RF front-end đưa vào.

Trong một receiver wireless, RF front-end và downconversion đưa phần spectrum cần quan tâm về một dạng phù hợp cho ADC. ADC sau đó tạo time-domain samples để các khối như synchronization, FFT, channel estimation và demodulation xử lý.

Trong bài này, Nyquist được minh họa bằng signal real, low-pass để giữ trực giác đơn giản. Khi học complex baseband ở Bài 5, positive/negative frequency và bandwidth sẽ được diễn giải bằng một model phù hợp hơn. Bài 2 chỉ cần giữ một nguyên tắc: ADC phải nhận một analog bandwidth phù hợp với sampling rate của nó.